基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)淞孔哟a譯碼研究

　　摘 要：由于量子糾錯碼的簡并性以及傳統(tǒng)匹配譯碼算法在錯誤相關(guān)性探測上的不足，拓?fù)淞孔哟a的譯碼問題一直以來都是很大的挑戰(zhàn)。近年來，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)越來越多地應(yīng)用到量子通信與量子信息中，極大地促進(jìn)了量子科技的發(fā)展。這里，針對傳統(tǒng)量子拓?fù)浯a的譯碼算法在錯誤相關(guān)性探測上的不足，搭建了卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)譯碼器，實現(xiàn)了拓?fù)淞孔哟a的高效譯碼。與傳統(tǒng)匹配譯碼算法進(jìn)行對比，提高了譯碼器對錯誤相關(guān)性的識別，實現(xiàn)了譯碼性能的提升。

　　本文源自馬鐘; 魏璐; 姚璐陽; 王云江， 無線電通信技術(shù) 發(fā)表時間：2021-05-31　《無線電通信技術(shù)》(雙月刊)創(chuàng)刊于1972年，由中國電子科技集團(tuán)公司第54研究所主辦。無線電通信學(xué)術(shù)刊物。報道有關(guān)衛(wèi)星通信、微波接力通信、散射通信、數(shù)字網(wǎng)與交換機等專業(yè)技術(shù)。

　　關(guān)鍵詞：量子通信;拓?fù)淞孔哟a;神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);譯碼;相關(guān)性

　　量子糾錯編碼是保障量子通信傳輸與量子信息處理可靠性的關(guān)鍵手段。目前，關(guān)于量子糾錯編碼的研究主要集中在量子穩(wěn)定子碼領(lǐng)域，特別是拓?fù)淞孔蛹m錯碼更是近年來量子糾錯編碼領(lǐng)域的熱點問題。拓?fù)淞孔哟a不僅具有容錯閾值高、糾錯能力強的特點，更因為其僅僅需要相鄰量子比特間的關(guān)聯(lián)操控，使其成為未來最有望硬件實現(xiàn)的量子糾錯編碼方案。然而，除了具有理論較優(yōu)的性能，是否具有高效的譯碼算法也是量子糾錯碼能否真正落地實現(xiàn)的關(guān)鍵。這是因為，相比經(jīng)典糾錯碼，量子糾錯碼更容易受到外界的干擾，造成信息的塌縮。而高效快速的譯碼策略可以有效縮短譯碼時間，從而極大地降低譯碼過程中的錯誤引入，這對于量子信息的快速處理與可靠存儲至關(guān)重要。

　　目前，對于拓?fù)淞孔哟a而言，其應(yīng)用最廣泛的譯碼算法是基于圖論的最小權(quán)重最佳匹配譯碼算法(Minimum Weight Perfect Matching，MWPM) [1]。其基本思想是將拓?fù)淞孔蛹m錯碼上的最有可能錯誤映射為該碼所對應(yīng)拓?fù)鋱D中與錯誤圖樣相對應(yīng)的最短距離，其對應(yīng)于拓?fù)淞孔哟a上最有可能發(fā)生的錯誤。然而,由于量子糾錯碼獨特的簡并錯誤以及 MWPM 在錯誤相關(guān)性上探測的局限性，其譯碼效果性能仍未能達(dá)到人們的期望。

　　近年來，機器學(xué)習(xí)正逐步被引入到量子信息與量子計算中來。已有的研究成果表明，借助機器學(xué)習(xí)可以有效地解決量子信息處理中的若干難題。考慮到量子譯碼算法的重要性，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的譯碼技術(shù)正逐步引起人們的關(guān)注[2-3]。例如，對于拓?fù)淞孔哟a而言，文獻(xiàn)[4]中提出了一種基于全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)淞孔哟a的譯碼策略。在該策略中，通過給定訓(xùn)練樣本與標(biāo)簽，可以探測錯誤之間的相關(guān)性，明顯緩解 MWPM 算法所固有的譯碼缺陷。

　　然而，全連接網(wǎng)絡(luò)在應(yīng)用于拓?fù)淞孔哟a的譯碼時，存在譯碼復(fù)雜度高、耗時相對較長的問題，這對拓?fù)淞孔哟a在實際中的應(yīng)用十分不利。一方面，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于所需的參數(shù)相對較少，在圖像分析和處理領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用;另一方面，拓?fù)淞孔哟a是一種基于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的量子糾錯碼，其在平面上的展開就是一個個的二維結(jié)構(gòu)，有著圖的結(jié)構(gòu)特點，這給了我們將卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用在拓?fù)浯a譯碼器上的新思路。

　　為此，在本文中，考慮基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)開展拓?fù)淞孔幼g碼算法的設(shè)計，并通過實驗仿真對構(gòu)造的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)譯碼器進(jìn)行測試與驗證。實驗表明，本文所提的譯碼器同樣可以克服 MWPM 所存在的不能有效識別量子錯誤的相關(guān)性這一問題，譯碼性能獲得明顯提升。并且由于相對全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所需的參數(shù)更少，因而譯碼時效性也更強。

　　1 相關(guān)背景知識

　　1.1 量子穩(wěn)定子碼與拓?fù)淞孔哟a

　　量子穩(wěn)定子碼(Quantum Stabilizer Code)也稱加性量子碼，是目前量子糾錯碼的研究主流[5-9]，其結(jié)構(gòu)類似于經(jīng)典線性碼，其碼字空間是由所有穩(wěn)定子生成子的本征值為 1 的共同本征態(tài)所構(gòu)成[5-8]。這里所謂的穩(wěn)定子是由 Pauli 算子的乘積構(gòu)成，對于量子穩(wěn)定子碼而言，要求所有的生成子彼此間相互對易，其角色相當(dāng)于經(jīng)典線性碼的校驗矩陣[8]。

　　量子糾錯碼中的錯誤種類很多，但 Shor 和 Steane 將復(fù)雜的量子態(tài)錯誤簡化為單個量子位上的比特翻轉(zhuǎn)錯誤、相位翻轉(zhuǎn)錯誤和比特翻轉(zhuǎn)加相位翻轉(zhuǎn)錯誤，分別對應(yīng) X、Y、Z 三個 Pauli 矩陣[5]。隨后，Preskill 指出單量子比特上發(fā)生的任意錯誤，都可能被視為以上三種錯誤的線性組合。這樣對量子比特上錯誤的糾正，演變成對其上發(fā)生的 X、Y、Z 這三種錯誤的識別。

　　拓?fù)淞孔哟a(Topological Quantum Code)是具有良好抵抗噪聲能力的一類穩(wěn)定子碼[9-10]，區(qū)別于其他穩(wěn)定子碼的顯著特點是其穩(wěn)定子生成子的幾何局部性。換句話說，該碼的物理比特以規(guī)則的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相互關(guān)聯(lián)構(gòu)成，且在某個幾何區(qū)域內(nèi)，每個穩(wěn)定子的生成子都由恒定數(shù)量的量子比特支撐，例如 Toric 碼。一般而言，該穩(wěn)定子的非零元素個數(shù)相對物理量子比特的個數(shù)要小很多，因此也屬于量子低密度奇偶校驗(Low Density Parity Check)碼的一種，常見的拓?fù)浞€(wěn)定子碼包括 Toric 碼、Surface 碼、Color 碼以及它們的高維形式。

　　1.2 拓?fù)浯a的最佳匹配算法

　　拓?fù)浯a的最佳匹配算法的基本思想是在圖中求最短路徑和[11]。以 Toric 碼為例，該算法的匹配過程如圖 1 所示。

　　圖 1 中的圖(a)和圖(d)是 5 5 ?的 Toric 碼，其中以藍(lán)色標(biāo)識是穩(wěn)定子測量后得到的錯誤圖樣(Syndrome)為-1 的位置。依據(jù)編碼理論可知，一個碼字中發(fā)生少量錯誤的概率是大于發(fā)生多個錯誤的概率的，同樣的結(jié)論也適用于量子糾錯碼。MWPM 算法就是找到具有同樣錯誤結(jié)果的最短錯誤鏈。Toric 碼里，經(jīng)過一個量子比特(圖(a)中的空心圓圈)計為一個單位長度，圖(a)中任意兩個錯誤之間的最短距離可以表示成圖的形式，如圖(b)所示。MWPM 算法就是找到圖(b)中包含所有錯誤的最短路徑，如圖(c)所示，最后再映射回 Toric 碼上(如圖(d)所示)，其中綠色標(biāo)識就是找到的最短錯誤鏈。從這個匹配過程中可以看出，MWPM 算法就是找到能將所有的錯誤圖樣串聯(lián)起來的最短路徑。

　　2 基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)淞孔哟a的譯碼設(shè)計

　　對于量子穩(wěn)定子碼，之前提到的 MWPM 譯碼算法并非是最佳的譯碼算法，原因在于其無法最佳地檢測 Y 錯誤，即同一量子比特上的比特翻轉(zhuǎn)錯誤和相位翻轉(zhuǎn)錯誤的結(jié)合，MWPM 譯碼算法將其視為兩個獨立的錯誤[4,9]，忽略了兩者之間的相關(guān)性。雖然可以對該算法進(jìn)行改進(jìn)，用來解釋錯誤之間的相關(guān)性。但因為在時間開銷上較大，它們并不利于實際應(yīng)用。

　　幸運的是，這些錯誤相關(guān)性可以用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模式匹配能力來識別。在文獻(xiàn)[4]中，蔣良教授課題組提出一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的量子穩(wěn)定子碼譯碼器，其中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用的是全連接前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，隱藏層中的每個神經(jīng)元都與前面和后面層中的神經(jīng)元相連，且有多個隱藏層。該譯碼器在糾錯能力上要優(yōu)于經(jīng)典的最小權(quán)重最佳匹配譯碼器。但相應(yīng)的，因為全連接的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層與層之間是完全關(guān)聯(lián)的，一旦網(wǎng)絡(luò)深度增加，參數(shù)量會非常多，整個網(wǎng)絡(luò)的計算量將會變得非常大，從而給梯度下降訓(xùn)練全連接網(wǎng)絡(luò)帶來極大困難。

　　考慮到卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所需的參數(shù)相對較少，在圖像分析和處理領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，而拓?fù)淞孔哟a在平面上的展開恰是一個個二維結(jié)構(gòu)，具有圖的顯著特征。為此，本文基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計實現(xiàn)拓?fù)淞孔哟a的譯碼器，用于識別量子比特上的錯誤關(guān)聯(lián)，在提高譯碼性能表現(xiàn)的同時，降低譯碼時延。基本思路是：以 Toric 碼的 X 和 Z 穩(wěn)定子的測量結(jié)果及其對應(yīng)的錯誤作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)，使其具備預(yù)測 Toric 碼中的每個量子比特上發(fā)生 X 和 Z 錯誤的概率分布的能力，再通過采樣和硬判決取出一個預(yù)測的錯誤，驗證該錯誤是否能產(chǎn)生同樣的錯誤圖樣。如果不能，就重復(fù)采樣，同時設(shè)置最大迭代次數(shù)。如果超過最大迭代次數(shù)還找不到真正的錯誤，就放棄迭代，認(rèn)為此次譯碼失敗。如果成功找到了對應(yīng)的錯誤，則認(rèn)為此次譯碼是成功的。具體的譯碼流程如圖 2 所示。

　　這里的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，需要有多個卷積層，這是因為單個卷積層學(xué)到的特征一般比較局限。其中的下采樣層(池化層)用來完成對特征的篩選，以進(jìn)一步減少參數(shù)量。而 Softmax 層的作用是對全連接層的輸出做歸一化處理，轉(zhuǎn)換為概率輸出。卷積網(wǎng)絡(luò)的輸入是測量所得的錯誤圖樣，輸出節(jié)點數(shù)量(輸出層的神經(jīng)元數(shù)量)取為 Toric 碼量子比特數(shù)的 2 倍。

　　3 仿真實驗

　　此次仿真實驗，考慮不同碼距的 Toric 碼在所設(shè)計的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)譯碼器下的表現(xiàn)。對于每個碼距的 Toric 碼，通過在譯碼器中輸入數(shù)量相同的測量錯誤圖樣，判斷并計算能夠成功找到對應(yīng)錯誤的比例。訓(xùn)練數(shù)據(jù)的生成是采用去極化信道，得到相應(yīng)的錯誤圖樣和訓(xùn)練數(shù)據(jù)。每個噪聲下最好的譯碼性能可能出現(xiàn)在不同的參數(shù)設(shè)置下，通過網(wǎng)絡(luò)搜索法進(jìn)行迭代，并把相應(yīng)的譯碼結(jié)果和 MWPM 譯碼器進(jìn)行了對比，如圖 3 所示。

　　圖 3 中橫坐標(biāo)表示信道錯誤概率，縱坐標(biāo)表示給定大小相同的驗證集，譯碼器成功譯碼的比例，d 表示對應(yīng) Toric 碼的碼距。由圖 3 可知，CNN 譯碼器的閾值門限約為 0.162，較 MWPM 譯碼器有所上升。譯碼器閾值的提高，也表明 CNN 譯碼器對噪聲的抵抗能力得到相對提升，能夠容納更高的噪聲。

　　當(dāng)信道錯誤概率低于閾值門限時，噪聲小、影響弱，如果擴(kuò)大碼距，雖然譯碼器的譯碼能力是增加的，但是增加的程度會越來越小。因為隨著碼距的擴(kuò)大，會使碼字的錯誤空間迅速增長。而當(dāng)信道錯誤概率高于閾值門限時，噪聲的影響過大，嚴(yán)重干擾譯碼器的工作，如果再增加碼距，反而降低譯碼器的譯碼能力。

　　在相同的噪聲環(huán)境下，CNN 譯碼器能夠獲得更高的譯碼性能，原因主要是 CNN 譯碼器在錯誤相關(guān)性上帶來的改善。為了說明這一點，圖 4 中給出在碼距為 7 時，只用 Z 穩(wěn)定子和同時用 X 和 Z 穩(wěn)定子的測量結(jié)果分別訓(xùn)練卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所得到的譯碼性能圖。

　　在去極化信道下，發(fā)生 X 錯誤和 Z 錯誤是等概的，Y 錯誤等價于同時發(fā)生 X 錯誤和 Z 錯誤;如果 X 和 Z 錯誤之間沒有相關(guān)性，則兩種錯誤就可以看作是獨立的，圖中的 2 條曲線應(yīng)該重合。圖 4 表明，通過卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)借助其特有的學(xué)習(xí)能力，能探測出來以上 2 種錯誤的相關(guān)性，改善了譯碼器性能，提高了糾錯能力。

　　卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)比起全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，一個顯著特點就是參數(shù)量少，并由于卷積層中的參數(shù)可以共享，同時池化也降低了計算量。因此，訓(xùn)練速度相對來說快一些，消耗的時間少。表 1 是 bitch_size=512、d=5 時，全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在相同大小的訓(xùn)練集下訓(xùn)練一輪(epoch)平均所需的時間，從表中清楚地看出，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練速度明顯快于全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

　　4 結(jié)束語

　　本文工作進(jìn)一步表明，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)譯碼器相比于傳統(tǒng) MWPM 譯碼器在探測錯誤相關(guān)性上具備更強的能力，有助于提升譯碼器的糾錯能力。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)譯碼器相對于全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，參數(shù)量更少，在保證譯碼性能的同時，時間復(fù)雜度更低。未來的研究可以注重多元化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與量子糾錯碼的編譯策略相結(jié)合。另外，目前的研究大多假設(shè)穩(wěn)定子的測量過程是準(zhǔn)確的，而實際中測量結(jié)果本身錯誤也難以避免，以上問題都將作為我們未來的研究工作。