有些學(xué)者從微觀經(jīng)濟(jì)理論的角度探索消費(fèi)和投資的最優(yōu)比率。例如，Ｐｈｅｌｐｓ構(gòu)建了不確定收入下的最優(yōu)消費(fèi)率［２］?；谶@一模型，Ｍｅｒｔｏｎ以布朗運(yùn)動模擬不確定收益，利用動態(tài)規(guī)劃建模的方式，求出在連續(xù)時間假設(shè)下獲得最大消費(fèi)效用的消費(fèi)和資產(chǎn)投資組合［３］。然而Ｍｅｒｔｏｎ的模型采用了Ｐｒａｔｔ的絕對風(fēng)險厭惡度（ａｂｓｏｌｕｔｅ?。颍椋螅搿。幔觯澹颍螅椋铮睿郏矗?，即假設(shè)投資者的風(fēng)險偏好是和年齡、財富無關(guān)的常數(shù)，從而把家庭總財富比率設(shè)計成常數(shù)。為了改進(jìn)過于嚴(yán)格的常系數(shù)風(fēng)險厭惡假設(shè)，Ｆａｒｈｉ和Ｐａｎ－ａｇｅａｓ假設(shè)投資者可以通過控制退休時間來調(diào)整勞動供給，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)消費(fèi)和投資［５］。另外有些學(xué)者拓展了Ｍｅｒｔｏｎ等人的模型，如Ｈａｋａｎｓｓｏｎ和Ｒｉｃｈａｒｄ研究了存在保險時的生命周期最優(yōu)消費(fèi)［６］［７］；Ｋａｒａｔｚａｓ使用鞅方法研究了個人如何選擇消費(fèi)率來實(shí)現(xiàn)消費(fèi)和財富效用最大化［８］；Ｂｏｄｉｅ等人探討了退休期間的最優(yōu)消費(fèi)投資問題［９］。有些學(xué)者則從宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度闡述消費(fèi)和投資對消費(fèi)效用最大化的影響。李嘉圖的古典消費(fèi)理論強(qiáng)調(diào)了消費(fèi)對經(jīng)濟(jì)的刺激。凱恩斯絕對收入假說認(rèn)為消費(fèi)主要取決于當(dāng)期絕對收入，平均消費(fèi)傾向（ＡＰＣ）隨收入增加而減少。按此假說，一戰(zhàn)后，美國人民收入增加，儲蓄應(yīng)隨之增加。但是，Ｋｕｚｎｅｔｓ實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)戰(zhàn)后儲蓄并未增加，長期ＡＰＣ穩(wěn)定［１０］。為解析上述矛盾現(xiàn)象，Ｄｕｅｓｅｎｂｅｒｒｙ提出相對收入假說，家庭會比較其他家庭的收入，即相對水平，來決定自己的消費(fèi)水平［１１］（Ｐ３）。相對收入假說的缺陷在于家庭的消費(fèi)是短視行為，沒有考慮未來收入。為克服相對收入假說存在的問題，Ｆｒｉｅｄｍａｎ提出了家庭將根據(jù)終生收入來決定消費(fèi)的持久收入假說［１２］（Ｐ２６－１３５）。內(nèi)生增長理論被廣泛用于分析投資和消費(fèi)的最優(yōu)分配。該理論假設(shè)在生產(chǎn)過程中的規(guī)模收益不變，即凸性生產(chǎn)技術(shù)，經(jīng)濟(jì)增長的決定因素是生產(chǎn)要素，生產(chǎn)率是由模型內(nèi)生所決定的，而不是由資源、人口等外部因素決定。典型的內(nèi)生增長模型有ＡＫ模型、Ｒｅｂｅｌｏ模型等［１３］。

曾經(jīng)有人質(zhì)疑ＡＫ模型是否可以用來評估經(jīng)濟(jì)增長。Ｊｏｎｅｓ建立了技術(shù)為常數(shù)的ＡＫ模型，對函數(shù)關(guān)于物質(zhì)資本和人力資本求最大值，并基于１９５０～１９８８年加拿大、法國、德國等１５個ＯＥＣＤ國家的時間序列數(shù)據(jù)，研究發(fā)現(xiàn)戰(zhàn)后投資額同經(jīng)濟(jì)增長無關(guān)，并由此推斷ＡＫ模型對投資和經(jīng)濟(jì)增長關(guān)系的預(yù)測是短期的或不正確的［１４］。為了反駁ＡＫ模型不適用于研究經(jīng)濟(jì)增長的結(jié)論，ＭｃＧｒａｔｔａｎ建立了技術(shù)為常數(shù)的ＡＫ模型，對函數(shù)關(guān)于消費(fèi)和資本求最大值。ＭｃＧｒａｔｔａｎ用１８７０～１９８９年１１個國家的數(shù)據(jù)驗證了投資率和經(jīng)濟(jì)增長之間的正相關(guān)關(guān)系，證明政府投資誘導(dǎo)政策會永久性影響經(jīng)濟(jì)增長［１５］。ＭｃＧｒａｔ－ｔａｎ發(fā)現(xiàn)Ｊｏｎｅｓ之所以用ＡＫ模型測不出投資和經(jīng)濟(jì)增長的相關(guān)性，一是數(shù)據(jù)期限短，二是模型設(shè)計存在缺陷。ＭｃＧｒａｔｔａｎ的模型假設(shè)如下：（１）代表性家庭選擇投資和消費(fèi)，從而實(shí)現(xiàn)生命周期效用最大化；（２）家庭有兩種資本，分別是結(jié)構(gòu)資本和設(shè)備資本，家庭收入來源于把結(jié)構(gòu)資本和設(shè)備資本租給公司的租金；（３）家庭收入要向政府繳納稅收，因此政府政策可以影響投資產(chǎn)出比和勞動閑暇選擇。這樣一來，ＭｃＧｒａｔｔａｎ就解釋了Ｊｏｎｅｓ觀察到的投資增加而產(chǎn)出穩(wěn)定的短期離差，并從理論和實(shí)證角度驗證了ＡＫ模型的有效性。本文在持久收入假設(shè)和內(nèi)生增長理論框架下，研究經(jīng)濟(jì)增長的最優(yōu)消費(fèi)投資比率，從理論上指導(dǎo)國民收入的合理分配。之所以選擇資本產(chǎn)出彈性為單位彈性的ＡＫ模型，是因為資本對發(fā)展中國家很重要。發(fā)展中國家可以通過購買技術(shù)先進(jìn)的國家的設(shè)備得到知識，這種由投資帶來的技術(shù)溢出可以加速整個國家的現(xiàn)代化。另外，由于行業(yè)間存在溢出效應(yīng)，當(dāng)資本提高某個行業(yè)的生產(chǎn)率時，與之相關(guān)行業(yè)的生產(chǎn)率也隨之提高［１６］，所以不僅要考慮資本對單個行業(yè)的作用，還需要考慮資本的社會回報。Ｌｊｕｎｇｑｖｉｓｔ和Ｓａｒｇｅｎｔ建立的ＡＫ模型與本文有類似的目標(biāo)函數(shù)ｙｔ＝Ａｋαｔ，也猜測了相同的值函數(shù)形式，并得到了類似的策略函數(shù)［１７］，但本文與之不同的是：第一，他們假設(shè)資本產(chǎn)出彈性大于零而小于１（０＜α＜１），從而使資本邊際效用遞減，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)資本收斂，而本文假設(shè)資本產(chǎn)出彈性等于１（α＝１），從而使資本沒有邊際效用遞減，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)資本不收斂，而值函數(shù)收斂；第二，本文考慮了資本折舊；第三，本文通過真實(shí)數(shù)據(jù)，再現(xiàn)改革開放以來消費(fèi)和投資對提高社會效用的貢獻(xiàn)。本文余下部分的結(jié)構(gòu)安排如下：第二部分建立包含資本折舊率和貼現(xiàn)因子的最優(yōu)消費(fèi)模型，通過猜解求出策略函數(shù)，討論了消費(fèi)、資本積累序列的意義，并通過求導(dǎo)分析了各變量對值函數(shù)的影響；第三部分比較了不同貼現(xiàn)因子下的值函數(shù)，并用三維效果圖展示了１９７８～２０１０年中國消費(fèi)、資本和值函數(shù)的演變關(guān)系；最后是本文的結(jié)論。

模型

本文考慮生產(chǎn)單一商品的經(jīng)濟(jì)，此商品既可消費(fèi)又可投資，投資以資本的形式體現(xiàn)，消費(fèi)品和資本品可以相互轉(zhuǎn)換。消費(fèi)數(shù)量和消費(fèi)投資比決定代表性行為人的效用，社會計劃者的目標(biāo)是通過政策引導(dǎo)消費(fèi)路徑，使代表性行為人在任意時期都能獲得最大效用。經(jīng)濟(jì)增長由資本驅(qū)動，因此設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為ｙｔ＝Ａｋｔ，其中Ａ反映技術(shù)水平，ｙｔ、ｋｔ和ｃｔ分別表示在時期ｔ的生產(chǎn)量、資本存量和消費(fèi)。對于任意ｔ期，有ｃｔ≥０，ｋｔ≥０；且初始資本ｋ０已知。由此，可得模型：ｍａｘ∑!ｔ＝０βｔｌｎ?。悖ǎ簦螅簦耄簦保剑簦保?delta;）ｋｔ－ｃｔ，　?。簦剑粒???睿簦ǎ保┢渲?delta;為資本折舊率，０≤δ≤１；β為貼現(xiàn)因子，０＜β＜１；βｔｌｎ?。悖ǎ簦┦窍M(fèi)效用。式（１）是終生消費(fèi)效用，資本積累規(guī)則為下期資本的數(shù)量取決于本期的有效商品總供給和本期的消費(fèi)。令ｆ　ｋ（ｔ）＝Ａｋｔ＋１－（δ）ｋｔ＝（Ａ＋１－δ）ｋｔ表示包含資本折舊的有效商品總供給，則式（１）可轉(zhuǎn)化為：ｍａｘ∑!ｔ＝０βｔｌｎ?。悖ǎ簦螅簦耄簦保剑妗。ǎ耄簦悖?，ｆ?。ǎ耄簦剑ǎ粒保?delta;）ｋ???睿簦ǎ玻┦劍ǎ玻┠勘旰??暮?迨譴?硇孕形?俗非笠簧??訓(xùn)奶?中в米畬蠡??渲邢?眩悖羰強(qiáng)刂票淞浚?時荊耄粑?刺?淞?。由噪H?跫?耄簦?保劍妗。ǎ耄簦??悖簦?傻茫悖簦劍妗。ǎ耄簦??耄簦?保?純刂票淞靠殺硎疚?刺?淞康暮??Ｇ笫劍ǎ玻┑淖鈑漚猓?褪竊詬?ㄔ際?跫?攏?業(yè)揭桓鑾〉鋇男蛄校悖簦?耄?簦?保?ｔ＝０，使目標(biāo)函數(shù)∑!ｔ＝０βｔｌｎ?。ǎ悖簦┤〉米畲笾?。（一）猜解求值函數(shù)和策略函數(shù)為方便求極值，將式（２）由離散形式轉(zhuǎn)化為連續(xù)形式，并定義值函數(shù)（）Ｖ?。霝橥顿Y者在給定財富下所能達(dá)到的期望終生總效用。在競爭性均衡中投資者的效用得到了最大化，則根據(jù)漢密爾頓－雅可比－貝爾曼方程（Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｊａｃｏｂｉ－Ｂｅｌｌｍａｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ，ＨＪＢＥ）可得：（）Ｖ　ｋ＝ｍａｘｋ＇（）ｌｎ　［ｆ?。耄耄荩В?beta;｛Ｖ?。ǎ耄Вǎ剑欤睢。郏妗。耄纾ǎ耄荩?beta;Ｖ?。郏纾ǎ耄荩ǎ常┦剑ǎ常┲校胧钱?dāng)前時期的資本存量（相當(dāng)于ｋｔ），ｋ＇是下一時期的資本存量（相當(dāng)于ｋｔ＋１）。ｇ（ｋ）是利用ＨＪＢＥ進(jìn)行遞歸迭代的策略函數(shù)，且ｇ（ｋ）＝ｋ＇，表示計劃者面臨的決策為：究竟是應(yīng)該用政策引導(dǎo)代表性行為人當(dāng)期多消費(fèi)一些，還是當(dāng)期少消費(fèi)，留作下一期的資本，從而使下一期能消費(fèi)更多。（）Ｖ?。牒停纾ǎ耄┒际沁B續(xù)可微的。根據(jù)動態(tài)規(guī)劃理論，可猜測值函數(shù)的形式為：（）（）Ｖ　ｋ＝Ｅ＋Ｆｌｎ　ｋ（４）其中，Ｅ、Ｆ是待定常數(shù)。對式（３）和（４）計算一階最優(yōu)的必要條件，并根據(jù)式（２）可得：ｇ（ｋ）＝ｋ＇＝βＦ　Ａ＋１－（δ）ｋ１＋βＦ（５）（）ｃ＝ｆ?。耄耄В剑粒保?delta;）ｋ１＋βＦ（６）式（５）是策略函數(shù)ｇ（ｋ）關(guān)于ｋ的顯式解，Ｆ是待定系數(shù)。（二）最優(yōu)消費(fèi)、資本累積序列令ｎ＝１，式（３）變成式（７）。由式（２）可知當(dāng)ｔ＝１時，以下兩式成立：Ｖ１（）ｋ＝ｍａｘｋ＇（）ｌｎ　ｆ?。耄耄郏荩Вǎ罚郑保ǎ耄剑恚幔耄Вǎ欤睢。妗。耄耄郏荩В?beta;Ｖ０ｋ（）＇（８）式（７）是目標(biāo)函數(shù)（２）的最大值，即社會計劃者最優(yōu)問題中的值函數(shù)；式（８）表示代表性行為人一生的效用貼現(xiàn)值等于當(dāng)期效用、未來效用的貼現(xiàn)值之和。當(dāng)期消費(fèi)和期末資本的選擇ｃ，ｋ｛｝＇產(chǎn)生了當(dāng)期效用ｌｎ（ｃ），下期的資本ｋ＇將按照策略函數(shù)ｇ（ｋ）來選擇。此處可獲得的最大期望效用是Ｖ?。耄ǎ?，而ｋ＇的貼現(xiàn)值為βＶ０ｋ（）＇。類似的，利用式（５）、式（３）逐期遞歸迭代可得到值函數(shù)Ｖｎ（）ｋ序列。對任意ｔ期，有：Ｖｎ（）ｋ＝∑ｎ－１ｉ＝１（β）ｉ－１　ｌｎＡ＋１－δ１＋β（）Ｆ＋βｎ－１ｌｎ?。ǎ粒保?delta;）＋　　　　∑ｎ－１ｊ＝１ｊ（β）ｊ?。欤?beta;Ｆ?。粒保?delta;）１＋β［］Ｆ＋∑ｎｓ＝１（β）ｓ－１（）ｌｎ　ｋ由于０＜β＜１，根據(jù)級數(shù)理論容易證明：當(dāng)ｎ→!時，Ｖｎ（）ｋ是收斂的，且其極限值（）Ｖ?。耄剑欤椋恚?rarr;!Ｖｎ（）ｋ就是無窮序列的唯一解。也就是說，得到的函數(shù)方程與式（４）的猜測完全符合。可以解出Ｅ＝１１－βｌｎ?。ǎ保?beta;Ａ＋１－［（δ）］＋β１－（β）２ｌｎβＡ＋１－［（δ）］，Ｆ＝１１－β。將Ｅ和Ｆ代入式（４）可得到函數(shù)方程（３）的具體表達(dá)式和相應(yīng)的策略函數(shù)：（）Ｖ　ｋ＝１１－βｌｎ　（１－）βＡ＋１－［（δ）］＋β１－（β）２ｌｎβＡ＋１－［（δ）］＋１１－β（）ｌｎ　ｋ（９）ｇ（ｋ）＝βＡ＋１－（δ）ｋ（１０）式（９）也就是式（１）的解。對于任意給定的ｋ０＞０，值函數(shù)（）Ｖ　ｋ采用策略ｋ＇＝ｇ（ｋ）＝βＡ＋１－（δ）ｋ恒可取得最優(yōu)值?；氐绞剑ǎ保┑碾x散形式，對任意時期ｔ（ｔ≥０），當(dāng)資本存量按策略ｋｔ＋１＝βＡ＋１－（δ）ｋｔ逐步演變時，式（１）必定取得最優(yōu)解。相應(yīng)地，ｃｔ＝１－（β）Ａ＋１－（δ）ｋｔ。綜上所述，可得式（１）的最優(yōu)消費(fèi)、資本累積序列ｃｔ，ｋ｛ｔ＋１｝!ｔ＝０為：ｃｔ＝１－（β）Ａ＋１－（δ）ｋｔｋｔ＋１＝βＡ＋１－（δ）ｋ???睿簦ǎ保保┐郵劍ǎ保保┛梢鑰闖觶鶴時菊劬陜?delta;和當(dāng)期消費(fèi)ｃｔ以及下期資本ｋｔ＋１負(fù)相關(guān)。資本折舊率反映了資本的使用成本，折舊率越大，資本越少，收入越少，可供消費(fèi)也越少。對資本的良好維護(hù)，可以降低資本折舊率。宏觀政策能改變折舊率，比如政府推出投資刺激政策，會使維護(hù)既有資本的成本高于重新投資，從而提高資本折舊率；再如，高利率增加貸款成本，導(dǎo)致生產(chǎn)者更傾向于用廉價原材料，產(chǎn)品耐用度降低，資本折舊率提高。貼現(xiàn)因子β和當(dāng)期消費(fèi)ｃｔ負(fù)相關(guān)，和下期資本ｋｔ＋１正相關(guān)。貼現(xiàn)因子反映了資產(chǎn)預(yù)期總收入超出當(dāng)期總收入的部分折現(xiàn)到當(dāng)期末的值。貼現(xiàn)因子越小，代表性行為人越傾向于當(dāng)期消費(fèi)ｃｔ；貼現(xiàn)因子越大，代表性行為人越希望把消費(fèi)推遲到將來。貼現(xiàn)因子是隨機(jī)的、主觀的，受真實(shí)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展變化的影響，可以通過宏觀經(jīng)濟(jì)政策引導(dǎo)貼現(xiàn)因子變化。比如福利保障制度可以提高當(dāng)期消費(fèi)者的信心，而提高利率會導(dǎo)致人們推遲當(dāng)期消費(fèi)。α＝１時，ＡＫ模型ｙ＝Ａｋαｔ的資本增長率ｋｔ＋１ｋｔ＝βＡ＋１－（δ）更大，而且資本不收斂。０＜α＜１時［１?。罚荩粒四Ｐ停剑粒?alpha;ｔ的資本增長率ｋｔ＋１ｋｔ＝αβＡｋα－１ｔ更小，而且資本收斂。另外，根據(jù)方程（１）最優(yōu)解的一階必要條件可以斷定，當(dāng)且僅當(dāng)ｃｔ＋ｋｔ＋１＝Ｄｋγｔ（Ｄ為常數(shù)，γ是大于零的任意實(shí)數(shù)）的形式時，即ｃｔ＋ｋｔ＋１必須與ｋγｔ成正比關(guān)系，ＡＫ模型才可能求出顯式的最優(yōu)解。其他學(xué)者在研究包含資本折舊的ＡＫ模型時，要么生產(chǎn)函數(shù)是線性的（即ｙ＝Ａｋ），而資本折舊是非線性的；要么生產(chǎn)函數(shù)是指數(shù)形式的（即ｙ＝Ａｋα），但資本折舊是線性的；或者假設(shè)勞動是彈性供應(yīng)的（即ｙ＝Ａｋαｎ１－α）。諸如此類模型，它們所對應(yīng)的消費(fèi)、資本累積之和ｃｔ＋ｋｔ＋１必定不能表示為ｋγｔ（其中γ＞０）的正相關(guān)函數(shù)，因此無論采用序列推導(dǎo)法或貝爾曼動態(tài)規(guī)劃的解法或其他方法，都不可能得到最優(yōu)解的顯式解析表達(dá)式，他們一般采用數(shù)值解法求解最優(yōu)的消費(fèi)和資本積累路徑。（三）變量對值函數(shù)的影響前文定義值函數(shù)（）Ｖ　ｋ為投資者在給定財富下，所能達(dá)到的終身期望總效用，以下討論貼現(xiàn)因子β、資本折舊率δ、消費(fèi)ｃ、資本存量ｋ對值函數(shù)（）Ｖ?。氲挠绊憽榉奖阌懻搮?shù)β、δ、ｋ的意義，將Ｖ（ｋ）記為Ｖ（β，δ，ｋ），即：Ｖβ，δ，（）ｋ＝１１－βｌｎ　（１－）βＡ＋１－［（δ）］＋β１－（β）２ｌｎβＡ＋１－［（δ）］＋１１－β（）ｌｎ?。耄ǎ保玻┯墒剑ǎ保玻┛梢园l(fā)現(xiàn)：１．可以證明?Ｖβ，δ，（）ｋ?β＞０對于β０≤β（≤１）恒成立，所以Ｖβ，δ，（）ｋ是β的單調(diào)增函數(shù)，即值函數(shù)（）Ｖ?。腚S著貼現(xiàn)因子β的增大而增大。而由式（１）也易知，貼現(xiàn)因子β越大，消費(fèi)的效用就越大。２．由?Ｖβ，δ，（）ｋ?δ＜０可知，值函數(shù)Ｖβ，δ，（）ｋ隨著資本折舊率δ的增加而減小，也就是說，資本折舊率越高，消費(fèi)總效用就越小。關(guān)于宏觀經(jīng)濟(jì)政策對資本折舊率和貼現(xiàn)率的影響，可參考公式（１１）對最優(yōu)消費(fèi)、資本累積序列的分析。３．由?Ｖβ，δ，（）ｋ?ｋ＞０可知，值函數(shù)Ｖβ，δ，（）ｋ隨著資本存量ｋ的增加而增加。資本存量ｋ越大，可用于生產(chǎn)的投資就越多，從而可供未來消費(fèi)的也就越多（即消費(fèi)ｃ越大），因此終生消費(fèi)的總效用值就越大。另外，根據(jù)式（１）的假設(shè)，消費(fèi)越大，消費(fèi)效用也就越大，但是由于所有的生產(chǎn)恰好被消費(fèi)與投資全部劃分，即ｃｔ＋ｋｔ＋１＝ｃｏｎｓｔ是常數(shù)，若ｔ期的消費(fèi)占收入比率過大，則可用于下期的資本就少，下期消費(fèi)也減少，所以應(yīng)該合理地安排消費(fèi)－投資比率。政府可以用貼現(xiàn)因子、折舊率和技術(shù)進(jìn)步率等政策引導(dǎo)消費(fèi)－投資比率。