R矩陣程序在共振散射實驗中的應(yīng)用

　　摘 要：R矩陣理論是研究天體核反應(yīng)的重要理論工具。為實現(xiàn)相關(guān)的數(shù)學計算, 開發(fā)了多種基于此理論的程序, 其中的DREAM程序使用了可視化的Basic宏來實現(xiàn)對R矩陣理論的計算, AZURE2程序則是一款利用C++編程語言制作的界面友好、實用性很強的R矩陣擬合工具。為驗證不同R矩陣工具的擬合結(jié)果, 利用DREAM和AZURE2分別對12C (p, p) 12C和21Na (p, p) 21Na共振散射實驗數(shù)據(jù)進行了擬合, 并對擬合的各項參數(shù)進行了對比。對比的結(jié)果顯示出兩種工具的符合情況很好, 可達到互相驗證的目的。

　　關(guān)鍵詞：R矩陣理論; 共振散射; DREAM; AZURE2;

　　《數(shù)學物理學報》(雙月刊)創(chuàng)辦于1981年4月，是由中國科學院主管、中科院武漢物理與數(shù)學研究所主辦的綜合性學術(shù)刊物。

　　反應(yīng)率是核天體網(wǎng)絡(luò)方程的重要輸入量，其快慢和反應(yīng)截面直接相關(guān)。由于在天體環(huán)境感興趣的能區(qū)，反應(yīng)截面受到庫侖勢壘的抑制，直接測量非常困難，所以只能在更高能的區(qū)間進行截面測量，然后通過R矩陣理論將數(shù)據(jù)外推至低能區(qū)域[1]。Wigner和Eisenbud在1948年提出了R矩陣理論[2], Lane和Thomas在1958年將其廣泛運用到核反應(yīng)的研究中[3], 1988年Barker和Warburton實現(xiàn)了該理論在β衰變上的應(yīng)用[4], 1991年Barker和Kajino在理論中加入了輻射俘獲的處理方法[5], 2002年Brune引入了可選擇的參數(shù)化的計算方式[6]。這些工作使得R矩陣理論得到了很大發(fā)展，把理論計算和實驗結(jié)果緊密地結(jié)合起來。現(xiàn)在的R矩陣理論已發(fā)展成一較完善的可用來解釋實驗核物理數(shù)據(jù)的理論體系。

　　隨著計算機編程代碼的進一步開發(fā)，該理論在核反應(yīng)研究中將得到更廣泛的應(yīng)用。R矩陣理論在Lane和Thomas對于核反應(yīng)的研究中得到了很大的推廣[3]。這個理論能在核天體物理學感興趣的能量范圍內(nèi)描述反應(yīng)截面。在干涉增強或減弱的系統(tǒng)中，共振現(xiàn)象使得單一的共振理論公式接近無效，而R矩陣理論為這種情況提供了一強有力的解決方案。這個理論對復(fù)合核的能級性質(zhì)進行參數(shù)化，從而計算反應(yīng)截面[6]。

　　在實驗物理分析過程中，對比不同理論代碼之間的計算結(jié)果是一項很必要的工作，因為不同的程序代碼存在一定的差異，計算方法上也有細微的不同。本文利用文獻中已有的實驗數(shù)據(jù)檢測不同的R矩陣工具之間的一致性。1 R矩陣程序DREAM和AZURE2在核物理研究中，MULTI[7]和SAMMY[8]是兩種基于R矩陣理論的傳統(tǒng)工具，但操作性較復(fù)雜，入門較困難。為使R矩陣更易使用，在Microsoft Excel的框架內(nèi)基于雙道R矩陣理論，使用可視化Basic宏編寫了DREAM[9]。而AZURE2[10]是JINA的研究人員利用C++編程語言實現(xiàn)多道分析并極大地改進了用戶接口的R矩陣理論工具。

　　在執(zhí)行數(shù)學計算過程中AZURE2添加了很多當前最新的計算庫。最重要的是，這兩種工具的用戶界面均很友好，便于操作。在誤差分析方面，DREAM利用對角協(xié)方差矩陣計算不確定度，通過MINUIT程序包進行運算[11]。AZURE2利用MINOS程序包計算誤差，該程序包可用于R矩陣形式的誤差計算，有很好的普適性。需注意，在計算誤差時，首先需得到1組可信任的能級參數(shù)，然后再計算這套參數(shù)下的誤差。2 數(shù)據(jù)分析2.1 12C+p共振散射數(shù)據(jù)12C (p，γ)13 N是大質(zhì)量恒星中氫燃燒階段的關(guān)鍵核反應(yīng)，也是低溫CNO循環(huán)的觸發(fā)反應(yīng)[12]。而12C (p, p) 12C共振散射測量得到的質(zhì)子寬度Γp將有效地約束12C (p，γ)13 N的反應(yīng)率。12C (p, p) 12C是一典型的共振彈性散射實驗。

　　它利用質(zhì)子束轟擊碳靶，通過探測散射出來的質(zhì)子得到12C (p, p) 12C的激發(fā)函數(shù)。由于質(zhì)子束和碳靶是較常見的束流和靶，因此，該散射實驗的數(shù)據(jù)很多，且達到了很高的精度。本文采用的數(shù)據(jù)是Meyer等[13]在Basel 3 MV Cockroft-Walton加速器上開展的實驗得到的。該實驗采用薄靶技術(shù)[1]，通過改變質(zhì)子束流的能量，逐點測量12C (p, p) 12C的微分截面。穩(wěn)定束的流強很高，測量得到的統(tǒng)計誤差較小，通過R矩陣擬合可得到較可靠的結(jié)論。Meyer等利用自己開發(fā)的R矩陣程序?qū)嶒灁?shù)據(jù)進行擬合，該程序沒有公開，普適性有待驗證。該程序的缺陷是無法對擬合參數(shù)進行誤差分析。

　　在進行擬合前，首先要得到入射道的道自旋宇稱。12C和p的基態(tài)自旋宇稱分別為0+和1/2+，通過兩個矢量的相加，可得到入射道的道自旋宇稱Sπ=1/2+。激發(fā)函數(shù)的擬合結(jié)果主要由入射核和靶核之間的軌道角動量以及散射角度決定。對于某特定的激發(fā)函數(shù)譜，其散射角度是確定的，因此激發(fā)函數(shù)的擬合曲線形狀只與有關(guān)。

　　通過道自旋S與軌道角動量的耦合可得到復(fù)合核激發(fā)能級的自旋，并利用π=(-1)確定其宇稱。輸入不同的以及Γp來嘗試性地計算查看擬合曲線與實驗數(shù)據(jù)的符合程度。在大致符合的情況下，再對實驗數(shù)據(jù)進行擬合，得到最終的擬合共振參數(shù)。分別利用DREAM和AZURE2兩個工具擬合激發(fā)函數(shù)曲線，得到了所需的能級性質(zhì)。兩者的擬合結(jié)果對比示于圖1。圖1中標識的能級Er (MeV)和自旋宇稱為Meyer等給出的實驗值。從圖1可看到兩種工具的擬合結(jié)果基本一致，最大差別不超過5%。表1列出了數(shù)據(jù)擬合的能級信息。在誤差范圍內(nèi)，兩者符合得非常好。和Meyer等的實驗參數(shù)相比，也基本一致。

　　2.2 21 Na+p共振散射數(shù)據(jù)21 Na (p，γ)22 Mg是天體物理中重要的核反應(yīng)，其反應(yīng)率將直接影響22 Na的豐度。22 Na的半衰期為2.6a，其β衰變發(fā)射的1.275MeV的特征γ射線是衛(wèi)星探測器的重要觀測對象。其觀測量可用來檢驗各天體模型的有效性[14]。21 Na (p, p) 21 Na共振散射測量可提供質(zhì)子寬度的信息，約束21 Na (p，γ)22 Mg反應(yīng)率。與2.1節(jié)中的12C (p, p) 12C實驗不同，21 Na是放射性核，沒有天然存在的靶材料，只能作為束流。和穩(wěn)定束相比，放射性束流的流強相對較低，進行薄靶實驗較費時。因此發(fā)展了厚靶技術(shù)[15]開展放射性束的共振散射測量。采用的數(shù)據(jù)是Ruiz等[14]在TRIUMF-ISAC裝置上開展的21 Na+p共振散射測量得到的。Ruiz等采用厚靶方法，利用21 Na束流轟擊厚的(CH2) n靶，一次性得到感興趣能區(qū)的激發(fā)函數(shù)。

　　21 Na和p的基態(tài)自旋宇稱分別為3/2+和1/2+，通過兩個矢量的相加，可得到入射道的道自旋宇稱Sπ=1+、2+。和12C+p系統(tǒng)不一致，21 Na+p系統(tǒng)可耦合出兩個道自旋，從而使道自旋與軌道角動量耦合的可能性增大，這也就相應(yīng)地增加了R矩陣分析的難度。故本文通過不同的S、耦合選出χ2最小的組合。圖2示出了利用DREAM和AZURE2對實驗數(shù)據(jù)的擬合，圖中標識的能級和自旋宇稱為Ruiz等[14]給出的實驗值。

　　從圖2可看到，兩者的擬合曲線符合很好，最大差別不超過5%。表2列出了4條共振能級的擬合參數(shù)對比。由于統(tǒng)計誤差的增大，和12C (p, p) 12C實驗數(shù)據(jù)相比，擬合參數(shù)的不確定度也相應(yīng)變大。DREAM和AZURE2的擬合參數(shù)在誤差范圍內(nèi)符合得非常好，但與Ruiz等的實驗參數(shù)有明顯差別。特別是對于第4條能級2-態(tài)的Γp, Ruiz等給出的值要大得多(至少20keV)。由于Ruiz等使用的R矩陣程序是其課題組自己開發(fā)的，該程序未公開，普適性有待驗證。從表2的擬合結(jié)果來看，2-態(tài)的Γp應(yīng)在42keV左右。

　　2.3 道半徑R的靈敏度研究在R矩陣擬合中，道半徑R=R0 (At1/3+Ap1/3)是一重要的輸入?yún)⒘浚琑0可取1.1～1.5fm[16]。大部分文獻認為不同的R0對擬合結(jié)果影響不大，沒有對R0的靈敏度進行系統(tǒng)研究。本文利用DREAM和AZURE2研究R0不同取值對12C (p, p) 12C和21 Na (p, p) 21 Na數(shù)據(jù)擬合的影響。圖3、4示出了兩組數(shù)據(jù)擬合的χ2隨R0的變化。表3、4列出了共振態(tài)在不同R0 (R0=1.1、1.3、1.5fm)得到的能級參數(shù)。

　　從圖3可看到，DREAM和AZURE2在12C (p, p) 12C數(shù)據(jù)中表現(xiàn)一致，χ2均隨R0的增大而增大。而從表3可看到，χ2的變化并未引起能級參數(shù)太多的改變。對于12C (p, p) 12C數(shù)據(jù)，道半徑的靈敏度很低。而對于21 Na (p, p) 21Na數(shù)據(jù)，DREAM擬合的χ2表現(xiàn)出了明顯的波動性，χ2在1.25～1.3fm之間最低。AZURE2仍呈現(xiàn)的是χ2隨R0的增大而增大。從表4可看到，21 Na (p, p) 21 Na數(shù)據(jù)的Er隨R0的變化不大，但對于第3條能級2+態(tài)的Γp，兩種程序表現(xiàn)相同的趨勢，隨著R0的增大，Γp變小，DREAM的變化率約為2keV/0.1fm, AZURE2的變化率約為1.4keV/0.1fm。DREAM對第4條能級2+態(tài)的Γp表現(xiàn)不靈敏，但AZURE2的變化率卻很大(～2.5keV/0.1fm)。

　　故確定最優(yōu)道半徑的方法為首先任意選擇R0(如1.25fm)，對實驗數(shù)據(jù)進行擬合，當?shù)玫阶罴褦M合后，通過改變R0計算χ2。在原子核普適的R0范圍(1.1～1.5fm)內(nèi)尋找χ2的最小值。最小χ2對應(yīng)的R0即為最優(yōu)道半徑。原則上，做最終擬合前需找到R0的最佳值。

　　本文提到的兩種基于R矩陣理論的工具，在經(jīng)過對穩(wěn)定束實驗12C (p, p) 12C和放射性束實驗21 Na (p, p) 21 Na共振彈性散射的數(shù)據(jù)進行擬合后，得到了理想的擬合結(jié)果。DREAM和AZURE2兩種工具表現(xiàn)出了很好的一致性。在道半徑的靈敏度研究中，兩種工具表現(xiàn)出了一定的差異，反映各自內(nèi)核的不同，從而可搭建相互驗證的平臺。本文的工作證明了這兩種常用的R矩陣工具在核天體物理研究中具有廣泛的一致性。

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